funciones, limites y derivadas.: noviembre 2012

TEMAS:

· FUNCIONES.

· TIPOS DE FUNCIONES.

· PROPIEDADES DE LOS LIMITES E IDETERMINACION.

· FUNCION DERIVADA Y SUS PROPIEDADES.

· ENLACES A VIDEOS.

FUNCIONES.

Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.

CAMPO DE EXISTENCIA O DOMINIO DE UNA FUNCIÓN

Es el conjunto de valores de números reales para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la X).

RANGO DE UNA FUNCIÓN:

Es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente Y.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN:

Si f es una función, entonces la grafica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) en el plano cartesiano R 2, para los cuales (x, y) es un par ordenado en f.

TIPOS DE FUNCIONES

FUNCIONES LINEALES: Es una función polinomial de primer grado (variable elevada al exponente 1), que se representa por medio de una línea recta y se denota por:

f (x) = mx + b , m y b constantes reales, con m ≠ 0.Su grafica es:

FUNCIONES CUADRÁTICAS: Es una función polinomial de segundo grado. Su grafica es:

FUNCIÓN CÚBICA:La función cúbica se define como polinomio de tercer grado.Su grafica es:

FUNCIÓN RACIONAL:Es un cociente de dos funciones polinomiales tal que:

Donde P(x) y Q(x) son polinomios. El dominio de una función racional consta de todos los números reales R exceptuando los ceros del polinomio en el denominador. Para obtener el rango debemos despejar X en función de Y.
FUNCIÓN RAÍZ ENÉSIMA:Se llama enésima raíz, o raíz de orden n y se denota:

Para el dominio si n es par la expresión subradical debe ser ≥ 0, si n es impar el dominio es R.

y = X
FUNCION INVERSA:Si f es una función uno a uno, entonces existe una función f -1, llamada inversa de f tal que:

x = f -1 (y), si y solo si y = f(x)

El dominio de f –1 es el rango de f y el rango de f –1 es el dominio de f.
FUNCIÓN UNO A UNO:Si para cada pareja de elementos diferentes en el dominio de f, tiene tambiénelementos diferentes en el recorrido (rango) de f .

Pasos a seguir para determinar la inversa de una función:

· Despejar la variable independiente X

· Intercambiar la variable X por la y y la y por la x .

· La función que se obtiene es la inversa de la función dada.

FUNCIONES CONSTANTES

El criterio viene dado por un número real.f(x)= k

Funciones Polinómica De Primer Grado. f(x) = mx + n.

LIMITES.

Límite es un concepto que describe la tendencia de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a determinado valor. En cálculo (especialmente en análisis real y matemático) este concepto se utiliza para definir los conceptos fundamentales de convergencia, continuidad, derivación, integración, entre otros.

En análisis real para funciones de una variable, se puede hacer una definición de límite similar a la de límite de una sucesión, en la cual, los valores que toma la función dentro de un intervalo se van aproximando a un punto fijado c, independientemente de que éste pertenezca al dominio de la función. Esto se puede generalizar aún más a funciones de varias variables o funciones en distintos espacios métricos.

Informalmente, se dice que el límite de la función f(x) es L cuando x tiende a c, y se escribe:

si se puede encontrar para cada ocasión un x suficientemente cerca de c tal que el valor de f(x) sea tan próximo a L como se desee.

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES

LIMITES EINDETERMINACIÓN

Una indeterminación no significa que el límite no exista o no se pueda determinar, sino que la aplicación de las propiedades de los límites tal como las hemos enunciadas no son válidas.

En estos casos hay que efectuar operaciones particulares para resolver cada una de las indeterminaciones.

TIPOS DE INDETERMINACIÓN

1.INFINITO PARTIDO POR INFINITO

2. INFINITO MENOS INFINITO

3. CERO PARTIDO POR CERO

4. CERO POR INFINITO

5. CERO ELEVADO A CERO

6. INFINITO ELEVADO A CERO

7. UNO ELEVADO A INFINITO
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FUNCION DERIVADA

DEFINICIÓN DE LA DERIVADA

La Derivada de f en a, denotada por f ′(a), es el siguiente limite:

        La Derivada f `(a), por ser un limite, puede o no existir. En el caso de que exista diremos que la función de f es diferenciable en el punto a.
        En esta definición esta implícito que f debe estar definida en un intervalo abierto que contiene a a.
        Al límite anterior lo podemos expresar en otra forma ligeramente diferente.

PROPIEDADES DE LAS DERIVADAS

Regla de la Constante Si f es la función:

siendo c una constante.

DE LA FUNCIÓN IDENTIDAD

La derivada de x es igual a 1. Es decir, la derivada de la función identidad es igual a la unidad.

DE LA POTENCIA
La derivada de una potencia o función potencial, es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno y por la derivada de la base

Si la base es la función identidad, la derivada es igual al exponente por la base elevada al exponente menos uno.

DE LA DERIVADA DE UNA SUMA

L La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumando, ya sean positivos o negativos.

DE LA DERIVADA DE UN COCIENTE

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Regla de la Derivada de un Producto
La derivada del producto de dos funciones es igual al primer factor por la derivada del segundo más el segundo factor por la derivada del primero.

DERIVADA DE UNA RAÍZ CUADRADA

La derivada de la raíz cuadrada de una función es igual a la derivada del radicando partida por el duplo de la raíz.

DERIVADA DE UNA RAÍZ

La derivada de la raíz enésima de una función es igual a la derivada del radicando partida por la n veces la raíz enésima de la función radicando elevada a n menos uno.

EJEMPLOS